正方体11种折叠方法

探究正方体的展开图 将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面,共有哪些不同的图形 呢? 要搞清这个问题,最好是动手实践,比如找一些正方体纸盒,沿着棱按不同 方式将其剪开(但不要剪断,六个面要通过边连在一起) ,展成平面,再观察、 对比一下不同形状的图形有哪些。

如果不容易找到足够的正方体纸盒,还可以找一些不太厚、易折叠的正方体 纸板,利用逆向思维,先猜测正方体展开图会有哪些不同形状,并将它们画在纸 板上,再将周围多余部分剪去,然后沿所画直线直行折叠,看看哪些图形纸板可 以折叠成正方体。

这种探究方法虽然有点麻烦,但操作简便易行,快速有效。

事 先可多画一些纸板(六个正方形边与边对齐,任意连接成不同的平面图形) ,经 过逐个验证,记录下所有可以折叠成正方体的图形,再将这些图形分类,总结并 寻找出其中的规律。

那么, 沿棱剪开展开一个正方体,究竟有哪些不同的形状呢?如果不考虑由 于旋转或翻折等造成相对位置的不同,只从本质上讲,有以下三类共 11 种。

一、 “141 型” (共 6 种) 特点:这类展开图中,最长的一行(或一列)有 4 个正方形(图 1~图 6) 。

理解:有 4 个面直线相连,其余 2 个面分别在“直线”两旁,位置任意。

二、 “231 型”与“33 型” (共 4 种) 特点: 这类展开图中, 最长的一行 (或一列) 3 个正方形 有 (如图 7~图 10) 。

理解:在“231 型”中, “3”所在的行(列)必须在中间, “2”“1”所在 、 行(列)分属两边(前后不分) ,且“2”与“3”同向, “1”可以放在“3”的任 意一个正方形格旁边,这种情况共有 3 种,而“33 型”只有 1 种。

三、 “222 型” (只有 1 种) 特点:展开图中,最多只有 2 个面直线相连(图 11) 。

评注:⑴将上面 11 个图中的任意一个,旋转一定角度或翻过来,看上去都 与原图似有不同,但这只是图形放置的位置或方式不同。

实际上,它与原图能够 完全重合,不能算作一个独立的新图,而从上面 11 个图中任取两个,不论怎样 操作(旋转、翻折、平移等) ,它们都不可能完全重合,即彼此是独立的、不同 的图形。

⑵对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图, 如果图中含 有“一”字型、 “7”字型、 “田”字型、 “凹”字型,就一定不能折成正方体。

概 括地说,只要不符合上述“141”“231”和“33”“222”的特点,就不能折成 、 、 正方体。

如图 12,如果将其看作“231”型,那么,无论怎么看, “2”和“3” 都不是同向,故不能折成正方体。

其实,它属于“123” (或“321” )型。

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